waveequation2d

時間のインデックスの表記を \(n\) から \(t\) に変えます。 \(n\) は次元の数に使うことにします。

ラプラシアンの離散化

\[ \begin{aligned} \nabla^{2} u_{t} &= \frac{1}{\Delta_x^{2}} \left( \mathtt{neighbor}(u_{t}) - 2n\,u_{t} \right)\\ \mathtt{neighbor}(u_{t}) &= \sum_{i\,\in \mathtt{axis}(n)} (u_{t,i-1} + u_{t,i+1}) ,\qquad \mathtt{axis}(n) = \{x, y, z, \dots \} \end{aligned} \]

\(\mathtt{neighbor}(u_{t})\) は近傍の総和です。 \(\mathtt{axis}(n)\) は \(n\) 次元の各軸の集合を表しているつもりですが、フォーマルな書き方がよく分からないのでごまかして書いています。

離散化

後で次元を変えられる形で離散化します。 \(n\) 次元のばね-ダンパ波動方程式です。

\[ \begin{aligned} \ddot{u}_{t+1} &= c^{2} \nabla^{2} u_{t+1} - a \dot{u}_{t+1} - k u_{t+1}\\ \dot{u}_{t+1} &= \dot{u}_{t} + \frac{\Delta_t}{2} \left( \ddot{u}_{t} + \ddot{u}_{t+1} \right)\\ u_{t+1} &= u_{t} + \Delta_t \dot{u}_{t} + \Delta_t^{2} \left( \left( \frac{1}{2} - \beta \right) \ddot{u}_{t} + \beta \ddot{u}_{t+1} \right) \end{aligned} \]

\(\ddot{u}_{t+1}\) の右辺について \(\dot{u}_{t+1}\) と \(u_{t+1}\) を代入します。

\[ \begin{aligned} \ddot{u}_{t+1} &= c^{2} \nabla^{2} \left( u_{t} + \Delta_t \dot{u}_{t} + \Delta_t^{2} \left( \left( \frac{1}{2} - \beta \right) \ddot{u}_{t} + \beta \ddot{u}_{t+1} \right) \right) - a \dot{u}_{t+1} + k u_{t+1}\\ &= \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Biggl( ( \mathtt{neighbor}(u_{t}) - 2n\,u_{t}) + \Delta_t ( \mathtt{neighbor}(\dot{u}_{t}) - 2n\,\dot{u}_{t})\\ &\qquad\qquad+ \Delta_t^{2} \left( \frac{1}{2} - \beta \right) ( \mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t}) - 2n\,\ddot{u}_{t})\\ &\qquad\qquad+ \Delta_t^{2} \beta ( \mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t+1}) - 2n\,\ddot{u}_{t+1}) \Biggr)\\ &\quad- a \Biggl( \dot{u}_{t} + \frac{\Delta_t}{2} \left( \ddot{u}_{t} + \ddot{u}_{t+1} \right) \Biggr)\\ &\quad- k \Biggl( u_{t} + \Delta_t \dot{u}_{t} + \Delta_t^{2} \left( \frac{1}{2} - \beta \right) \ddot{u}_{t} + \Delta_t^{2} \beta \ddot{u}_{t+1} \Biggr) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & ( 1 + a \frac{\Delta_t}{2} + k \Delta_t^{2} \beta + 2n \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Delta_t^{2} \beta ) \ddot{u}_{t+1} - \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Delta_t^{2} \beta \,\mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t+1})\\ &= \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Biggl( \mathtt{neighbor}(u_{t}) + \Delta_t \,\mathtt{neighbor}(\dot{u}_{t}) + \Delta_t^{2} \left( \frac{1}{2} - \beta \right) \mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t}) \Biggr)\\ &\quad- \Biggl( a \frac{\Delta_t}{2} + k \Delta_t^{2} \left( \frac{1}{2} - \beta \right) + 2n \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Delta_t^{2} \left( \frac{1}{2} - \beta \right) \Biggr) \ddot{u}_{t}\\ &\quad- \Biggl( a + k \Delta_t + 2n \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Delta_t \Biggr) \dot{u}_{t} \\ &\quad- \Biggl( k + 2n \frac{c^{2}}{\Delta_x^{2}} \Biggr) u_{t} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & C_0 \ddot{u}_{t+1} + C_1 \,\mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t+1})\\ &= C_2 \bigl( \mathtt{neighbor}(u_{t}) + \Delta_t \,\mathtt{neighbor}(\dot{u}_{t}) + C_3 \,\mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t}) \bigr)\\ &\quad- C_4 \ddot{u}_{t} - C_5 \dot{u}_{t} - C_6 u_{t}\\ \end{aligned} \]

連立方程式を立てます。1次元のときと比べると、定数については \(C_6\) だけが変わっています。

\[ \begin{aligned} C_0 &= 1 + a C_7 + C_6 C_8\\ C_1 &= - C_2 C_8\\ C_2 &= c^{2} / \Delta_x^{2}\\ C_3 &= \Delta_t^{2} \left( 1 / 2 - \beta \right)\\ C_4 &= C_3 C_6 + a C_7\\ C_5 &= a + \Delta_t C_6\\ C_6 &= k + 2n\,C_2\\ C_7 &= \Delta_t / 2\\ C_8 &= \Delta_t^{2} \beta\\ \end{aligned} \quad \begin{aligned} &\quad \begin{cases} \mathbf{A} \ddot{\mathbf{u}}_{t+1} = \mathbf{b}\\ \dot{u}_{t+1} = \dot{u}_{t} + C_7 \left( \ddot{u}_{t} + \ddot{u}_{t+1} \right)\\ u_{t+1} = u_{t} + \Delta_t \dot{u}_{t} + C_3 \ddot{u}_{t} + C_8 \ddot{u}_{t+1}\\ \end{cases}\\ \\ \mathbf{b} &= C_2 \bigl( \mathtt{neighbor}(\mathbf{u}_{t}) + \Delta_t \mathtt{neighbor}(\dot{\mathbf{u}}_{t}) + C_3 \mathtt{neighbor}(\ddot{\mathbf{u}}_{t}) \bigr)\\ &\qquad- C_4 \ddot{\mathbf{u}}_{t} - C_5 \dot{\mathbf{u}}_{t} - C_6 \mathbf{u}_{t}\\ \end{aligned} \]

\(\mathbf{A}\) と \(\mathbf{u}_{t}\) の組み立て

\(\mathbf{A}\) と \(\mathbf{u}_{t}\) の組み立て方について2次元の例を作って見ていきます。 \(4 \times 4\) の \(u\) を考えます。

そのまま2次元配列として実装できますが、ソルバで解くときだけ1次元配列にする必要があります。次の図では横書きの文章を書くように、左から右に進み、右端に辿りついたら次の行の左端からまた進むというようにインデックスを振っています。

for (var x = 0; x < xLength; ++x) {
  for (var y = 0; y < yLength; ++y) {
    u_array[x + y * xLength] = u[x][y]
  }
}

\(\mathbf{A}\) を組み立てます。整理した式の左辺にある関数 \(\mathtt{neighbor}\) を展開して2次元の形にします。このときインデックスが配列の端から外に出ないよう例外処理が必要です。

\[ \begin{aligned} C_0 \ddot{u}_{t+1} + C_1 \,\mathtt{neighbor}(\ddot{u}_{t+1}) &= C_0 \ddot{u}_{t+1} + C_1 \sum_{i\,\in \mathtt{axis}(n)} ( \ddot{u}_{t,i-1} + \ddot{u}_{t,i+1})\\ &= C_0 \ddot{u}_{t+1} + C_1 (\ddot{u}_{t,x-1} + \ddot{u}_{t,x+1}) + C_1 (\ddot{u}_{t,y-1} + \ddot{u}_{t,y+1}) \\ &= C_0 \ddot{u}_{t+1} + C_1 \mathtt{sum\_x}(\ddot{u}_{t+1}) + C_1 \mathtt{sum\_y}(\ddot{u}_{t+1})\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \mathtt{sum\_x}(u_{t}) &= \begin{cases} b u_{t,x - 1} &,\,x=0\\ b u_{t,x + 1} &,\,x=n_x - 1\\ u_{t,x-1} + u_{t,x+1} &,\,\text{otherwise} \end{cases}\\ \mathtt{sum\_y}(u_{t}) &= \begin{cases} b u_{t,y-1} &,\,y=0\\ b u_{t,y+1} &,\,y=n_y - 1\\ u_{t,y-1} + u_{t,y+1} &,\,\text{otherwise} \end{cases}\\ \end{aligned} \]

\(n_x\) と \(n_y\) はそれぞれ \(x\) 軸と \(y\) 軸のインデックスの数です。

境界条件は \(b\) の値で変更できます。 \(b=1\) のとき固定端、 \(b=2\) のとき自由端になります。

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} C_0 & b C_1 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & b C_1 & C_0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ C_1 & 0 & 0 & 0 & C_0 & b C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & b C_1 & C_0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_0 & b C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & b C_1 & C_0 & 0 & 0 & 0 & C_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & C_0 & b C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & b C_1 & C_0\\ \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{B} = \begin{bmatrix} C_0 & b C_1 & 0 & 0\\C_1 & C_0 & C_1 & 0\\0 & C_1 & C_0 & C_1\\0 & 0 & b C_1 & C_0\\ \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{D} = \begin{bmatrix} C_1 & 0 & 0 & 0\\0 & C_1 & 0 & 0\\0 & 0 & C_1 & 0\\0 & 0 & 0 & C_1\\ \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & b\mathbf{D} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{D} & \mathbf{B} & \mathbf{D} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{D} & \mathbf{B} & \mathbf{D}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & b\mathbf{D} & \mathbf{B}\\ \end{bmatrix} \]

格子の大きさが \(n_x \times n_y\) のとき、 \(\mathbf{B},\,\mathbf{D},\,\mathbf{0}\) は \(n_x \times n_x\) の正方行列、 \(\mathbf{A}\) は \(n_y \times n_y\) の正方行列になります。

デモと実装

ソルバにガウス-ザイデル法を使っています。計算が重たいので反復回数の上限を8にしています。

キャンバスをクリックすると波が起きます。\(u_{t}\) の値が大きいと明るく、小さいと暗く表示されます。赤は \(u_{t} > 1.0\) 、緑は \(u_{t} < -1.0\) を表しています。

実装はややこしくなっています。JavaScriptでは参照が直接書けないので array = [{value: value}, ...] というように Object に値を格納することで配列の操作を楽にしています。

その他

ガウス-ザイデル法による歪みとインデックスの振り方

ガウス-ザイデル法の反復回数が少ないときに波が歪みます。この歪みは1次元配列への変換時に蛇行するようにインデックスを振ることで改善できますが、端のノードについての例外処理が増えます。

for (var x = 0; x < xLength; ++x) {
  for (var y = 0; y < yLength; ++y) {
    var index = y % 2 == 0
      ? x + y * xLength
      : (y + 1) * xLength - x - 1
    u_array[index] = u[x][y]
  }
}

ソルバの発散を防ぐ

2回の反復を1セットにして、1回目はインデックスを昇順、2回目は降順にたどって計算することで、反復回数が少ないときでもソルバによる発散を防げます。

\(u_{t}\) が \(5 \times 3\) のときの \(\mathbf{A}\)

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} C_0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & b C_1 & C_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & C_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_0 & b C_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & 0 & 0 & 0 & b C_1 & C_0\\ \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{B} = \begin{bmatrix} C_0 & b C_1 & 0 & 0 & 0\\ C_1 & C_0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & C_0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & C_0 & C_1\\ 0 & 0 & 0 & b C_1 & C_0\\ \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{D} = \begin{bmatrix} C_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_1\\ \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{B} & b\mathbf{D} & \mathbf{0}\\ \mathbf{D} & \mathbf{B} & \mathbf{D}\\ \mathbf{0} & b\mathbf{D} & \mathbf{B}\\ \end{bmatrix} \]

\(n\) 次元の \(\mathbf{A}\)

横書き順インデックスを使うときの \(n\) 次元の \(\mathbf{A}\) を組み立てます。 \(4 \times 4 \times 4 \times \dots\) の場合を考えてみます。

\[ \begin{aligned} \begin{aligned} \mathbf{B} &= \begin{bmatrix} C_0 & b C_1 & 0 & 0\\ C_1 & C_0 & C_1 & 0\\ 0 & C_1 & C_0 & C_1\\ 0 & 0 & b C_1 & C_0\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{B}^{2} &= \begin{bmatrix} \mathbf{B} & b \mathbf{D} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{D} & \mathbf{B} & \mathbf{D} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{D} & \mathbf{B} & \mathbf{D}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & b \mathbf{D} & \mathbf{B}\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{B}^{3} &= \begin{bmatrix} \mathbf{B}^{2} & b \mathbf{D}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{D}^{2} & \mathbf{B}^{2} & \mathbf{D}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{D}^{2} & \mathbf{B}^{2} & \mathbf{D}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & b \mathbf{D}^{2} & \mathbf{B}^{2}\\ \end{bmatrix} \\ &\hspace{6.5em}\vdots \end{aligned} \quad \begin{aligned} \mathbf{D} &= \begin{bmatrix} C_1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & C_1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & C_1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C_1\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{D}^{2} &= \begin{bmatrix} \mathbf{D} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{D} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{D} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{D}\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{D}^{3} &= \begin{bmatrix} \mathbf{D}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{D}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{D}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{D}^{2}\\ \end{bmatrix} \\ &\hspace{6em}\vdots \end{aligned} \quad \begin{aligned} \mathbf{0} &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{0}^{2} &= \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}\\ \end{bmatrix} \\ \mathbf{0}^{3} &= \begin{bmatrix} \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2} & \mathbf{0}^{2}\\ \end{bmatrix} \\ &\hspace{5.5em}\vdots \end{aligned} \end{aligned} \]

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{B}^{n} & b\mathbf{D}^{n} & \mathbf{0}^{n} & \mathbf{0}^{n}\\ \mathbf{D}^{n} & \mathbf{B}^{n} & \mathbf{D}^{n} & \mathbf{0}^{n}\\ \mathbf{0}^{n} & \mathbf{D}^{n} & \mathbf{B}^{n} & \mathbf{D}^{n}\\ \mathbf{0}^{n} & \mathbf{0}^{n} & b\mathbf{D}^{n} & \mathbf{B}^{n}\\ \end{bmatrix} \]

2次元のばね-ダンパ波動方程式

表記について