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Update: 2024-08-06
指数曲線ディケイの式を \(\gamma^t\) から \(e^{\gamma t}\) に置き換えます。どちらを使っても得られる出力は同じです。
位置 \(\hat{y}_A(t)\) の式です。
\[ \hat{y}_A(t) = \begin{cases} e^{\gamma t} a_A \dfrac{t^2}{2}, & \text{if} \enspace 0 \leq t \leq t_A, \\ e^{\gamma t} \left(- b_A \dfrac{t^2}{2} + \hat{v}_A t + \hat{h}_A \right), & \text{if} \enspace t_A \leq t \leq t_p, \\ e^{\gamma t}, & \text{if} \enspace t_p \leq t. \\ \end{cases} \]
\(\gamma\) は 0 以下です。
次の手順でピークに到達する時点 \(t_k\) のある範囲を調べます。
区間 \(0 \leq t \leq t_A\) での速度 \(\hat{\dot{y}}_A(t)\) を求めます。 Maxima を使います。
y1_d1: diff(exp(γ * t) * a_A * t^2 / 2, t);\[ \begin{aligned} \dot{\hat{y}}_A(t) &= \frac{a_A t^2 \gamma e^{t \gamma}}{2} + a_A t e^{t \gamma} \\ &= e^{\gamma t} a_A t \left( \frac{\gamma t}{2} + 1 \right), \qquad 0 \leq t \leq t_A. \end{aligned} \]
\(\hat{v}_A\) と \(\hat{h}_A\) の式です。
\[ \begin{aligned} \hat{v}_A &= \dot{\hat{y}}_A(t_A) = e^{\gamma t_A} a_A t_A \left( \frac{\gamma t_A}{2} + 1 \right) \\ \hat{h}_A &= \hat{y}_A(t_A) = e^{\gamma t_A} a_A \dfrac{t_A^2}{2} \\ \end{aligned} \]
\(\hat{v}_A\) が負の値なら \(\hat{y}\) のピークは \(0 \leq t < t_A\) のどこかにあります。負の値になるのは \(\gamma\) だけなので、 \(\left( \dfrac{\gamma t_A}{2} + 1 \right)\) が 0 以下になるかどうかを調べれば十分です。判定式を変形すると次の形になります。
\[ \gamma t_A \leq -2 \]
\(\dot{\hat{y}}_A(t) = 0\) となる時点 \(t_{k, A}\) を求めます。
solve(0 = y1_d1, t);2 つの解が得られますが、 \(t = 0\) は使いません。エンベロープをトリガした瞬間の速度が 0 であることは事前に分かっているからです。よって \(t_{k, A}\) は次の式になります。
\[ t_{k, A} = - \frac{2}{\gamma} \]
区間 \(t_A \leq t \leq t_p\) で速度 \(\hat{\dot{y}}_A(t)\) が 0 になる時点 \(t_{k,p}\) を求めます。
y2_d1: diff(exp(γ * t) * (-b_A * t^2 / 2 + v_A * t + h_A), t);
solve(0 = y2_d1, t);2 つの解が得られました。
\[ \begin{aligned} t &= -\frac{\sqrt{(v_A^2 + 2 b_A h_A) \gamma^2 + {b_A}^2} - v_A \gamma + b_A}{b_A \gamma} \\ t &= \frac{\sqrt{(v_A^2 + 2 b_A h_A) \gamma^2 + {b_A}^2} + v_A \gamma - b_A}{b_A \gamma} \\ \end{aligned} \]
実装して確認したところ \(t_{k,p,2}\) を使うと範囲 \([0, 1]\) の出力が得られました。
実装へのリンクです。ここで紹介した計算方法は
getPeakAlt に実装されています。